Para exponer con mayor claridad y demostrar que la gente no puede notar la diferencia existente entre los números grandes, hemos realizado el experimento de contar cuántos granos hay en un kilogramo de arroz.
En el video presentado, se demuestra la gran variedad de respuestas ante la pregunta de cuántos granos hay en un kilo de arroz. Las respuestas oscilan desde miles a millones.
En el conteo de los granos de arroz, hemos utilizado diferentes métodos matemáticos usados para contar un gran número de elementos como en una manifestación cuando se cuenta el número de asistentes. Aquí, se usa el método de contar cuántas personas hay por metro cuadrado y multiplicarlo tantas veces como metros cuadrados estén ocupados.
Nosotros, usando un método semejante, hemos esparcido los granos de arroz sobre cartulinas azules, les hemos fotografiado, hemos dividido la foto en cuadrículas con la ayuda del ordenador y hemos contado cuántos granos de arroz hay en cada cuadrícula. Después, hemos multiplicado el número de granos obtenidos por el número de cuadrículas existentes.
Otro método utilizado ha sido el de pesar un número reducido de granos en la báscula. El peso obtenido lo dividimos entre el número de granos usados para el pesaje y así obtuvimos el peso de un solo grano de arroz. Finalmente, si un grano pesa x gramos y el peso total de los granos es de 1 kilogramo (1000 gramos), se puede hallar el número de granos total de la bolsa dividiendo los 1000 gramos que pesa la bolsa entre el peso de un grano de arroz.
Para comprobar la fiabilidad de estos dos métodos seguidos, hemos contado todos los granos del kilo uno a uno y los resultados obtenidos han sido similares a los resultados de los métodos aproximados que hemos usado en este experimento.
jueves, 15 de abril de 2010
martes, 9 de marzo de 2010
ESTO YA SI QUE ES LO ÚLTIMO DEL INFINITO
Una anécdota que suelen contar los estudiantes de matemáticas costarriquenses es cuando el profesor de cálculo diferencial e integral estuvo hablando del infinito y un alumno le preguntó: "Qué es el infinito?" El Profesor le dijo: "El infinito es..." Cogió la tiza pintando una línea por la pared hasta que apareció tras un largo periodo de tiempo y aunque dijo que eso no había sido exactamente infinito, podían hacerse a la idea de ello.
Ya en la antigüedad intentaron definir el infinito. Aristóteles rechazó el infinito por todas las contradicciones que producía. Sin embargo, lo entendió de dos formas diferentes que son las adoptadas actualmente. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual. "La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente" encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito".
El infinito actual es aquel que forma un todo y no es un proceso. Kant aceptaba las teorías de Aristóteles pero rechazando este infinito al no poderse llegar a él.
El infinito potencial es aquel que se puede imaginar pensando que siempre entre dos números habrá otros más y así hasta el infinito (hablando de los números reales). Así ocurre en la paradoja de Xenón.
Cantor propuso la teoría de conjuntos en la que se crean conjuntos y más tarde se llega a la idea de infinito. Para entenderlo mejor hay que definir la cardinalidad o potencia de un conjunto.
Dos conjuntos P y Q, si tienen el mismo número de elementos son iguales en cardinalidad o potencialidad (son equipotentes) si existe una función f biyectiva definida de P en Q.
La definición de infinito más aceptada es la dada por Bolzano:
"Un conjunto no vacío A es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente a {1, 2, 3, 4, 5,..., n}; de otra forma A es infinito".
"Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A; en cualquier otro caso A es finito".
Esto podría producir una contradicción ya que B sería más pequeño que A. Por ello los griegos negaron la existencia del infinito diciendo que aniquilaba a los números (al sumar un número con infinito te queda infinito).
En la axiomática de Zermelo-Fraenkel se intenta explicar a través del Axioma de Infinitud la idea de que sí existen conjuntos infinitos.
Se puede demostrar que el conjunto Q de números racionales es equipotente con N. Cardinalmente, Q (que es un conjunto denso) es igual que el de los números naturales (N) que es discreto.
Un conjunto S es numerable si tiene la misma cardinalidad que algún subconjunto de N. Por lo que Z y Q son conjuntos numerables. Un conjunto T es no numerable si es infinito y tiene mayor cardinalidad que N como ocurre con los números reales (R).
Gracias a los números transfinitos (creador por Georg Cantor) se supo, finalmente, que los números no se aniquilaban al asociarlos con el infinito como decían los griegos. Cantor creó los números ordinales en los que si a es ordinal, a+1 también lo es y en una sucesión de ordinales siempre hay un ordinal que es límite de esa sucesión.
Cantor define los números cardinales como aquellos ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. Todos los números ordinales finitos son números cardinales. Sin embargo el ordinal transfinito $ \omega$ + 1 no es un número cardinal pues $ \omega$ < $ \omega$ + 1 y los dos tienen la misma cardinalidad.
El conjunto natural (de menor cardinalidad) es $ \aleph_{0}^{}$ y los números cardinales siguientes serían: $ \aleph_{1}^{}$, $ \aleph_{2}^{}$,$ \aleph_{3}^{}$,...,$ \aleph_{\omega}^{}$,
Ya en la antigüedad intentaron definir el infinito. Aristóteles rechazó el infinito por todas las contradicciones que producía. Sin embargo, lo entendió de dos formas diferentes que son las adoptadas actualmente. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual. "La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente" encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito".
El infinito actual es aquel que forma un todo y no es un proceso. Kant aceptaba las teorías de Aristóteles pero rechazando este infinito al no poderse llegar a él.
El infinito potencial es aquel que se puede imaginar pensando que siempre entre dos números habrá otros más y así hasta el infinito (hablando de los números reales). Así ocurre en la paradoja de Xenón.
Cantor propuso la teoría de conjuntos en la que se crean conjuntos y más tarde se llega a la idea de infinito. Para entenderlo mejor hay que definir la cardinalidad o potencia de un conjunto.
Dos conjuntos P y Q, si tienen el mismo número de elementos son iguales en cardinalidad o potencialidad (son equipotentes) si existe una función f biyectiva definida de P en Q.
La definición de infinito más aceptada es la dada por Bolzano:
"Un conjunto no vacío A es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente a {1, 2, 3, 4, 5,..., n}; de otra forma A es infinito".
"Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A; en cualquier otro caso A es finito".
Esto podría producir una contradicción ya que B sería más pequeño que A. Por ello los griegos negaron la existencia del infinito diciendo que aniquilaba a los números (al sumar un número con infinito te queda infinito).
En la axiomática de Zermelo-Fraenkel se intenta explicar a través del Axioma de Infinitud la idea de que sí existen conjuntos infinitos.
Se puede demostrar que el conjunto Q de números racionales es equipotente con N. Cardinalmente, Q (que es un conjunto denso) es igual que el de los números naturales (N) que es discreto.
Un conjunto S es numerable si tiene la misma cardinalidad que algún subconjunto de N. Por lo que Z y Q son conjuntos numerables. Un conjunto T es no numerable si es infinito y tiene mayor cardinalidad que N como ocurre con los números reales (R).
Gracias a los números transfinitos (creador por Georg Cantor) se supo, finalmente, que los números no se aniquilaban al asociarlos con el infinito como decían los griegos. Cantor creó los números ordinales en los que si a es ordinal, a+1 también lo es y en una sucesión de ordinales siempre hay un ordinal que es límite de esa sucesión.
Cantor define los números cardinales como aquellos ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. Todos los números ordinales finitos son números cardinales. Sin embargo el ordinal transfinito $ \omega$ + 1 no es un número cardinal pues $ \omega$ < $ \omega$ + 1 y los dos tienen la misma cardinalidad.
El conjunto natural (de menor cardinalidad) es $ \aleph_{0}^{}$ y los números cardinales siguientes serían: $ \aleph_{1}^{}$, $ \aleph_{2}^{}$,$ \aleph_{3}^{}$,...,$ \aleph_{\omega}^{}$,
lunes, 8 de marzo de 2010
MÁS DEL INFINITO
En un diccionario, infinito es todo aquello que no tiene fin.
Los números naturales no tienen fin (son infinitos) y los números pares tampoco tienen fin (también son infinitos) y, sin embargo, los dos no pueden ser iguales ya que los pares son una parte de los naturales (deberían ser más pequeños que los naturales). Esto es lo que se denomina paradoja, las cuales se presentan en conjuntos infinitos. Hay conjuntos cuyos elementos pueden ser ordenados (correspondencia biunívoca o biyectiva entre esos elementos). Eso quiere decir que tienen la misma cardinalidad que varía si cambia el número de elementos que forman el conjunto y no si se altera el orden de éstos. Cuando el cardinal se refiere a conjuntos infinitos se le llama cardinal transfinito. Con lo expuesto, se sobreentiende que hay mismo cardinal transfinito para los números pares que para los naturales. Este cardinal es representado por aleph.
Existe una paradoja de Zenón de Elea o Paradoja de la Dicotomía: nunca se puede llegar a recorrer un segmento AB porque primero hay que recorrer su mitad, después la mitad de la mitad... Esto son las dicotomías que tienden al valor cero y son infinitas. Algo parecido dijo el escritos Arthur Schnitzler en "Flight to the Darkness" diciendo que la muerte no existía porque cuando se acercaba la muerte revivías toda tu vida y esto tendrá a la vez su último momento y así sucesivamente. Así, nunca se llega a morir como apoyaría la teoría de los límites del Cálculo Infinetesimal.
En la película "Moebius" los pasajeros viajan eternamente sin llegar a paradero alguno. Su viaje es infinito.
Aristóteles que el infinito eliminaba a los números, hablando de que el producto de cualquier número por infinito es infinito: n×∞=∞ y la suma igual.
Según Georg Cantor, existe un infinito actual, aceptado por los platonistas y los logicistas como Frege y Bertrand Russell.
Bertrand Russell define el número infinito como una clase reflexiva, es decir, si A es un conjunto infinito y B un subconjunto de A, existe una correspondencia biunívoca entre A y B.
La teoría de Cantor fue gravemente criticada por Leopold Kronecker, lo cual ocasionó una gran depresión a Cantor.
Sin embargo, hay matemáticos que sostienen que el infinito actual no existe como el número π,del que no se han encontrado todas las cifras decimales pertenecientes a él pero, según estos matemáticos algún día podría ser encontrada la última cifra decimal de π.
Se cree que hay dos infinitos: uno actual y el otro potencial como Aristóteles creía.
Los números naturales no tienen fin (son infinitos) y los números pares tampoco tienen fin (también son infinitos) y, sin embargo, los dos no pueden ser iguales ya que los pares son una parte de los naturales (deberían ser más pequeños que los naturales). Esto es lo que se denomina paradoja, las cuales se presentan en conjuntos infinitos. Hay conjuntos cuyos elementos pueden ser ordenados (correspondencia biunívoca o biyectiva entre esos elementos). Eso quiere decir que tienen la misma cardinalidad que varía si cambia el número de elementos que forman el conjunto y no si se altera el orden de éstos. Cuando el cardinal se refiere a conjuntos infinitos se le llama cardinal transfinito. Con lo expuesto, se sobreentiende que hay mismo cardinal transfinito para los números pares que para los naturales. Este cardinal es representado por aleph.
Existe una paradoja de Zenón de Elea o Paradoja de la Dicotomía: nunca se puede llegar a recorrer un segmento AB porque primero hay que recorrer su mitad, después la mitad de la mitad... Esto son las dicotomías que tienden al valor cero y son infinitas. Algo parecido dijo el escritos Arthur Schnitzler en "Flight to the Darkness" diciendo que la muerte no existía porque cuando se acercaba la muerte revivías toda tu vida y esto tendrá a la vez su último momento y así sucesivamente. Así, nunca se llega a morir como apoyaría la teoría de los límites del Cálculo Infinetesimal.
En la película "Moebius" los pasajeros viajan eternamente sin llegar a paradero alguno. Su viaje es infinito.
Aristóteles que el infinito eliminaba a los números, hablando de que el producto de cualquier número por infinito es infinito: n×∞=∞ y la suma igual.
Según Georg Cantor, existe un infinito actual, aceptado por los platonistas y los logicistas como Frege y Bertrand Russell.
Bertrand Russell define el número infinito como una clase reflexiva, es decir, si A es un conjunto infinito y B un subconjunto de A, existe una correspondencia biunívoca entre A y B.
La teoría de Cantor fue gravemente criticada por Leopold Kronecker, lo cual ocasionó una gran depresión a Cantor.
Sin embargo, hay matemáticos que sostienen que el infinito actual no existe como el número π,del que no se han encontrado todas las cifras decimales pertenecientes a él pero, según estos matemáticos algún día podría ser encontrada la última cifra decimal de π.
Se cree que hay dos infinitos: uno actual y el otro potencial como Aristóteles creía.
ÚLTIMA LECCIÓN EN GOTINGA - DAVIDE OSENDA (OO1 EDICIONES)
Los números naturales son infinitos y se pueden representar en la recta real (que es infinita) o en un círculo con infinitos puntos dentro.
Paradoja de David Hilbert: fue a dormir a un hotel con infinitas habitaciones y estaba lleno por lo que les dijeron a sus huéspedes que se alojasen en su siguiente habitación y así quedaría vacía la primera habitación que sería ocupada por Hilbert: el de la habitación 1 pasaría a la 2, el de la 2 a la 3 etc.
Georg Cantor: dijo que había infinitos números reales entre 1 y 2. Demostrado con las diagonales de Cantor: escribió números entre 1 y 2 y fue seleccionando: del primer número la primera cifra decimal, del segundo número la segunda cifra decimal y así sucesivamente.Sumaba a cada uno de los números obtenidos 1. Llegó a la conclusión de que cada número que iba formando era completamente diferente a todos los anteriores ya que por lo menos difería con ellos en la cifra decimal que había cogido de ellos sumándole 1. Los reales eran infinitos. Era un infinito de orden superior ya que hay más reales entre 1 y 2 que todos los números naturales. Sabiendo esto Cantor quiso ordenar los infinitos por su número de elementos:
xo: conjunto de números naturales.x1: conjunto aleph 1 (reales).
Kurt Gödel dio a entender que esto era una paradoja sin solución explicándolo con la paradoja del mentiroso: si al guien dice "estoy mintiendo" puede ser verdad y al estar diciendo la verdad estaría mintiendo al decir que miente o puede ser mentira y entonces llega a una contradicción al igual que en el caso anterior. Esto lo usó con una función y llegó a la conclusión que siempre que existiese un sistema coherente habría paradojas, por lo que estos sistemas no son del todo completos.
Cantor se atascó en el problema del contínuo: se sabe que en xo hay 2 elevado a xo subconjuntos pero en cada uno de esos 2 elevado a xo subconjuntos hay 2 elevado a 2 elevado a xo conjuntos ( no se sabe cuán numeroso era el conjunto de los reales. Un conjunto es ordenable si es numerable y si es innumerable no puede ser ordenado.
Los infinitos se ordenan con el axioma de elección de Ernst Zermelo pero es finito. Para ordenar los infinitos tiene que haber un elemento mínimo (principio de la buena ordenación) y los reales no lo tienen. Axioma de elección: se selecciona con el principio de la buena ordenación.
Gödel dijo que la hipótesis del contínuo nunca podría ser demostrada como falsa y ahora, Cohen decía que era imposible también afirmar que era verdadero.
miércoles, 3 de marzo de 2010
Manifestaciones
Uno de los grandes problemas a la hora de contar algo es calcular el número de personas que asisten a una manifestación. Esto ha provocado una gran polémica entre los que afirman una cantidad de personas y los que afirman otra.
En primer lugar abarcaremos el problema de cómo se calcula el número de personas que acude a una manifestación, actualmente existen dos formas:
• Contar el número de individuos que pasan por un punto determinado en un minuto y multiplicar la cifra por los minutos que dura la manifestación.
• Multiplicar los metros cuadrados que ocupa la marcha por un número determinado de manifestantes. Si se dispone de fotografías de alta resolución desde el aire, esta técnica es más precisa, pues se puede determinar mejor el conjunto de personas.
Actualmente es mucho más sencillo resolver este problema ya que contamos con la ayuda de la informática, la cual, ha proporcionado algunos programas que se encargan de esta tarea. Sin embargo esos resultados no se pueden tomar al pie de la letra ya que es prácticamente imposible contar una por una todas las personas que acuden a una manifestación, por eso los resultados contienen una estimación de error ya que en muchos casos se recurre a la estimación.
Si nos limitamos a estimar las personas que han asistido a una manifestación en lugar de contarlas, nos veremos obligados a asumir cifras muy diferentes de las reales.
Además, no podremos conocer el error estimado del propio procedimiento.
Por otra parte, contar es un procedimiento sencillo ya que la última cifra será el número total de todos los asistentes.
Sin embargo, cuando las aglomeraciones son multitudinarias, el conteo se complica.
Es en este momento cuando las herramientas informáticas, que hemos nombrado antes, nos ayudan a realizar una medición que, de otra manera, es prácticamente imposible.
Siguiendo con esto, los resultados de una estimación pueden ser datos muy altos e incluso exagerados. Hay ocasiones que se dice que en una manifestación han acudido un millón de personas. Ahora veremos el espacio que ocuparían ese millón de personas.
Suponiendo, que se midiera en una superficie sin edificios, obstáculos, etc, necesitarían 375.000 metros cuadrados.
En primer lugar abarcaremos el problema de cómo se calcula el número de personas que acude a una manifestación, actualmente existen dos formas:
• Contar el número de individuos que pasan por un punto determinado en un minuto y multiplicar la cifra por los minutos que dura la manifestación.
• Multiplicar los metros cuadrados que ocupa la marcha por un número determinado de manifestantes. Si se dispone de fotografías de alta resolución desde el aire, esta técnica es más precisa, pues se puede determinar mejor el conjunto de personas.
Actualmente es mucho más sencillo resolver este problema ya que contamos con la ayuda de la informática, la cual, ha proporcionado algunos programas que se encargan de esta tarea. Sin embargo esos resultados no se pueden tomar al pie de la letra ya que es prácticamente imposible contar una por una todas las personas que acuden a una manifestación, por eso los resultados contienen una estimación de error ya que en muchos casos se recurre a la estimación.
Si nos limitamos a estimar las personas que han asistido a una manifestación en lugar de contarlas, nos veremos obligados a asumir cifras muy diferentes de las reales.
Además, no podremos conocer el error estimado del propio procedimiento.
Por otra parte, contar es un procedimiento sencillo ya que la última cifra será el número total de todos los asistentes.
Sin embargo, cuando las aglomeraciones son multitudinarias, el conteo se complica.
Es en este momento cuando las herramientas informáticas, que hemos nombrado antes, nos ayudan a realizar una medición que, de otra manera, es prácticamente imposible.
Siguiendo con esto, los resultados de una estimación pueden ser datos muy altos e incluso exagerados. Hay ocasiones que se dice que en una manifestación han acudido un millón de personas. Ahora veremos el espacio que ocuparían ese millón de personas.
Suponiendo, que se midiera en una superficie sin edificios, obstáculos, etc, necesitarían 375.000 metros cuadrados.
martes, 2 de marzo de 2010
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