Una anécdota que suelen contar los estudiantes de matemáticas costarriquenses es cuando el profesor de cálculo diferencial e integral estuvo hablando del infinito y un alumno le preguntó: "Qué es el infinito?" El Profesor le dijo: "El infinito es..." Cogió la tiza pintando una línea por la pared hasta que apareció tras un largo periodo de tiempo y aunque dijo que eso no había sido exactamente infinito, podían hacerse a la idea de ello.
Ya en la antigüedad intentaron definir el infinito. Aristóteles rechazó el infinito por todas las contradicciones que producía. Sin embargo, lo entendió de dos formas diferentes que son las adoptadas actualmente. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual. "La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión "así sucesivamente" encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito".
El infinito actual es aquel que forma un todo y no es un proceso. Kant aceptaba las teorías de Aristóteles pero rechazando este infinito al no poderse llegar a él.
El infinito potencial es aquel que se puede imaginar pensando que siempre entre dos números habrá otros más y así hasta el infinito (hablando de los números reales). Así ocurre en la paradoja de Xenón.
Cantor propuso la teoría de conjuntos en la que se crean conjuntos y más tarde se llega a la idea de infinito. Para entenderlo mejor hay que definir la cardinalidad o potencia de un conjunto.
Dos conjuntos P y Q, si tienen el mismo número de elementos son iguales en cardinalidad o potencialidad (son equipotentes) si existe una función f biyectiva definida de P en Q.
La definición de infinito más aceptada es la dada por Bolzano:
"Un conjunto no vacío A es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente a {1, 2, 3, 4, 5,..., n}; de otra forma A es infinito".
"Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A; en cualquier otro caso A es finito".
Esto podría producir una contradicción ya que B sería más pequeño que A. Por ello los griegos negaron la existencia del infinito diciendo que aniquilaba a los números (al sumar un número con infinito te queda infinito).
En la axiomática de Zermelo-Fraenkel se intenta explicar a través del Axioma de Infinitud la idea de que sí existen conjuntos infinitos.
Se puede demostrar que el conjunto Q de números racionales es equipotente con N. Cardinalmente, Q (que es un conjunto denso) es igual que el de los números naturales (N) que es discreto.
Un conjunto S es numerable si tiene la misma cardinalidad que algún subconjunto de N. Por lo que Z y Q son conjuntos numerables. Un conjunto T es no numerable si es infinito y tiene mayor cardinalidad que N como ocurre con los números reales (R).
Gracias a los números transfinitos (creador por Georg Cantor) se supo, finalmente, que los números no se aniquilaban al asociarlos con el infinito como decían los griegos. Cantor creó los números ordinales en los que si a es ordinal, a+1 también lo es y en una sucesión de ordinales siempre hay un ordinal que es límite de esa sucesión.
Cantor define los números cardinales como aquellos ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. Todos los números ordinales finitos son números cardinales. Sin embargo el ordinal transfinito $ \omega$ + 1 no es un número cardinal pues $ \omega$ < $ \omega$ + 1 y los dos tienen la misma cardinalidad.
El conjunto natural (de menor cardinalidad) es $ \aleph_{0}^{}$ y los números cardinales siguientes serían: $ \aleph_{1}^{}$, $ \aleph_{2}^{}$,$ \aleph_{3}^{}$,...,$ \aleph_{\omega}^{}$,
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