Los números naturales son infinitos y se pueden representar en la recta real (que es infinita) o en un círculo con infinitos puntos dentro.
Paradoja de David Hilbert: fue a dormir a un hotel con infinitas habitaciones y estaba lleno por lo que les dijeron a sus huéspedes que se alojasen en su siguiente habitación y así quedaría vacía la primera habitación que sería ocupada por Hilbert: el de la habitación 1 pasaría a la 2, el de la 2 a la 3 etc.
Georg Cantor: dijo que había infinitos números reales entre 1 y 2. Demostrado con las diagonales de Cantor: escribió números entre 1 y 2 y fue seleccionando: del primer número la primera cifra decimal, del segundo número la segunda cifra decimal y así sucesivamente.Sumaba a cada uno de los números obtenidos 1. Llegó a la conclusión de que cada número que iba formando era completamente diferente a todos los anteriores ya que por lo menos difería con ellos en la cifra decimal que había cogido de ellos sumándole 1. Los reales eran infinitos. Era un infinito de orden superior ya que hay más reales entre 1 y 2 que todos los números naturales. Sabiendo esto Cantor quiso ordenar los infinitos por su número de elementos:
xo: conjunto de números naturales.x1: conjunto aleph 1 (reales).
Kurt Gödel dio a entender que esto era una paradoja sin solución explicándolo con la paradoja del mentiroso: si al guien dice "estoy mintiendo" puede ser verdad y al estar diciendo la verdad estaría mintiendo al decir que miente o puede ser mentira y entonces llega a una contradicción al igual que en el caso anterior. Esto lo usó con una función y llegó a la conclusión que siempre que existiese un sistema coherente habría paradojas, por lo que estos sistemas no son del todo completos.
Cantor se atascó en el problema del contínuo: se sabe que en xo hay 2 elevado a xo subconjuntos pero en cada uno de esos 2 elevado a xo subconjuntos hay 2 elevado a 2 elevado a xo conjuntos ( no se sabe cuán numeroso era el conjunto de los reales. Un conjunto es ordenable si es numerable y si es innumerable no puede ser ordenado.
Los infinitos se ordenan con el axioma de elección de Ernst Zermelo pero es finito. Para ordenar los infinitos tiene que haber un elemento mínimo (principio de la buena ordenación) y los reales no lo tienen. Axioma de elección: se selecciona con el principio de la buena ordenación.
Gödel dijo que la hipótesis del contínuo nunca podría ser demostrada como falsa y ahora, Cohen decía que era imposible también afirmar que era verdadero.
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